حل مسألة الجزء المظلل

 

مسألة من وسم #سباق_الرياضيات على تويتر.

الحل:

نُعلِّم رؤوس المربع والزوايا كما هو ظاهر في الرسم ولنفرض دون فقد العموميَّة أنَّ طول ضلع المربع 2. بما أنَّ T نقطة مشتركة على محيط نصف الدائرة وربع الدائرة فإنها تبعد البعد نفسه عن مركزيهما. أي أنَّ:

MT=MB,\ CB=CT $$

\Rightarrow\triangle CTM\cong\ \triangle CBM\ \left(S.S.S\right)\Rightarrow CT\bot TM\Rightarrow\angle TMB=180\ -\theta $$

$\left[\triangle T B C\right]$ - [القطع TB في ربع الدائرة] + $[\triangle TBM]$ - [القطع TB في نصف الدائرة] = [المظلل]

لاحظ أنَّ $ \left[\triangle T B C\right]+\left[\triangle T B M\right]=\left[CTMB\right]. لكن \left[CTMB\right]=2\cdot\left[\triangle C B M\right] $ من التطابق.

$\thereforeالمظلل=π22⋅θ360+π12180-θ360-2

=\frac{\pi\theta}{120}-2$

وأيضاً من تطابق المثلثين نرى أنَّ $MT$ يُنصِّف الزاوية $ \theta$.

\Rightarrow\sin{\frac{1}{2}\theta}=\frac{1}{\sqrt5}$$

$$

لكن من متطابقة ضعف الزاوية:

$$

\sin{2\cdot\frac{1}{2}\theta}=2\sin{\frac{1}{2}\theta}\cos{\frac{1}{2}\theta}=\frac{4}{5}

$$

$$\Rightarrow \theta = \sin^{-1} {\frac {4}{5}} \approx 53.1$$

وبالتعويض في المعادلة الأخيرة نصل إلى القيمة المطلوبة.